Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

36. Parábola, eixo vertical, passando por - 2,3 ,   0,3   e   ( 1,9 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seu eixo e três pontos pelo qual ela passa, para encontrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma parábola, e parábolas tem equações no formato x - x 0 2 = 4 p ( y - y 0 ) ou y - y 0 2 = 4 p ( x - x 0 ) . Como essa é uma parábola no eixo vertical, tem o formato x - x 0 2 = 4 p ( y - y 0 )

Bom, como temos três pontos pelos quais ela passa, podemos fazer um sistema:

i )   - 2 - x 0 2 = 4 p ( 3 - y 0 )

i i )     x 0 2 = 4 p 3 - y 0

i i i )   1 - x 0 2 = 4 p ( 9 - y 0 )

De i ficamos com:

4 + 4 x 0 + x 0 2 = 12 p - 4 p y 0

De i i temos: x 0 2 = 12 p - 4 p y 0

Substituindo isso na primeira equação que encontramos, ficamos com:

4 + 4 x 0 + x 0 2 = x 0 2

4 + 4 x 0 = 0

x 0 = - 1

Vamos trocar x 0 = - 1   na segunda equação para ver o que achamos:

x 0 2 = 12 p - 4 p y 0

1 = 4 p ( 3 - y 0 )

1 3 - y 0 = 4 p

Agora que temos o valor de x 0   e 4 p ,   podemos substituí-los na equação i i i :

i i i )   1 - x 0 2 = 4 p ( 9 - y 0 )

  2 2 = 1 3 - y 0 ( 9 - y 0 )

4 ( 3 - y 0 ) = ( 9 - y 0 )

1 2 - 4 y 0 = 9 - y 0

12 - 9 = 4 y 0 - y 0

3 = 3 y 0

y 0 = 1

Show! Já temos o valor de x 0 e y 0 , para nossa equação ficar completa falta apenas acharmos p . Para isso basta voltar na equação de p e trocar os valores que já temos:

1 3 - y 0 = 4 p

1 3 - 1 = 4 p

1 2 = 4 p

p = 1 8

Juntando tudo isso, nossa equação da forma x - x 0 2 = 4 p y - y 0 fica sendo:

x + 1 2 = 1 2 ( y - 1 )

Resposta

x + 1 2 = 1 2 ( y - 1 )

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