Enunciado

O que é uma elipse? Quais são as equações cartesianas para elipses centradas na origem com focos em um dos eixos coordenados? Como você pode determinar os focos, vértices e diretrizes de tal elipse a partir de sua equação?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Uma elipse é o conjunto de todos os pontos ( x , y ) em um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos é uma constante. Cada ponto fixo é chamado de foco da elipse. Toda elipse tem dois eixos de simetria. O eixo maior é chamado de eixo maior, e o eixo menor é chamado de eixo menor. Cada ponto final do eixo maior é o vértice da elipse, e cada ponto final do eixo menor é um co-vértice da elipse. O centro de uma elipse é o ponto médio dos eixos maior e menor. Os eixos são perpendiculares no centro. Os focos sempre estão no eixo maior, e a soma das distâncias dos focos a qualquer ponto da elipse é maior que a distância entre os focos.

A forma padrão da equação de uma elipse com centro ( 0 , 0 ) e eixo principal paralelo ao eixo x é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

onde a > b .

O comprimento do eixo maior é 2 a .

As coordenadas dos vértices são   ( ± a , 0 ) .

O comprimento do eixo menor é 2 b .

As coordenadas dos co-vértices são ( 0 , ± b ) .

As coordenadas dos focos são ( ± c , 0 ) , onde c ² = a ² - b ² .

Conforme na figura abaixo:

Já a forma padrão da equação de uma elipse com centro ( 0 , 0 ) e eixo principal paralelo ao eixo y é:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

onde a > b .

O comprimento do eixo maior é 2 a .

As coordenadas dos vértices são   ( 0 , ± a ) .

O comprimento do eixo menor é 2 b .

As coordenadas dos co-vértices são ( ± b , 0 ) .

As coordenadas dos focos são ( 0 , ± c ) , onde c ² = a ² - b ² .

Conforme na figura abaixo:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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