Enunciado

Encontre o volume comum de duas esferas, cada qual com raio r , se o centro de cada esfera está na superfície da outra esfera.

Passo 1

Opa, bora lá! Nesse problema precisamos calcular o volume comum de duas esferas, cada qual com raio r , se o centro de cada esfera está na superfície da outra esfera.

Pra isso precisamos rotacional dois círculos de raio r como na figura abaixo:

Passo 2

Acharemos o volume da metade direita e posteriormente multiplicaremos por dois, então:

V d i r e i t a = π ∫ 0 r 2 y 2 d x = π ∫ 0 r 2 r 2 - 1 2 r + x 2 d x = π r 2 x - 1 3 1 2 r + x 3 0 r 2 =

π 1 2 r 3 - 1 3 r 3 - 0 - 1 24 r 3 = 5 24 π r ³

Assim, por simetria, o volume total é

V t o t a l = 2 V d i r e i t a = 2 5 24 π r 3 = 5 12 π r ³

Prontinho!

Resposta

V = 5 12 π r ³ .

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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta A C
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 2 + 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 é rotacionada em torno do eixo x .
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Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3 O A C em torno da reta B C