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Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados

y = sin ⁡ x ,     y = 0 ,     π 2 ≤ x ≤ π ,     e m   t o r n o   d o   e i x o   x

Passo 1

Precisamos lembrar o seguinte, seja y = f ( x ) uma função contínua não negativa em [ a ,   b ] e R a região sob o gráfico de f de a até b . O volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo x , é definido por

V = π ∫ a b f x 2 d x

Então, podemos escrever

V = π ∫ π / 2 π sin ⁡ x 2 d x

V = π ∫ π / 2 π sin 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 2

Antes de resolver a integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x

Então, substituindo

V = π ∫ π / 2 π sin 2 ⁡ ( x ) d x = π ∫ π 2 π 1 2 1 - cos ⁡ 2 x d x = π 2 ∫ π 2 π 1 - cos ⁡ 2 x d x = π 2 x - 1 2 sin ⁡ 2 x π 2 π = π x 2 - π 4 sin ⁡ 2 x π 2 π = π 2 2 - 0 - π 2 4 + 0 = π 2 4

Resposta

V = π 2 4

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