Enunciado

Encontre o volume do sólido S descrito.

Uma pirâmide com altura h e base triangular equilátera com lado a (um tetraedro).

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! A questão quer que calculemos o sólido S que é uma pirâmide com altura h e base triangular equilátera com lado a :

Assim, podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Onde A é a área do triângulo equilátero!!

Vamos considerar o triângulo que consiste dos dois vértices da base e do centro da base, como na figura abaixo:

O triângulo é correspondente ao triângulo de altura y , assim:

a b = α β → α = a β b

Também por semelhanças de triângulos, temos que:

b h = β h - y → β = b h - y h

As duas equações implicam que:

α = a 1 - y h

Achamos os limites de integração pela figura, que são a = 0 e b = h .

Passo 2

E como a área é um triângulo equilátero:

A y = 1 2 . α . 3 2 α ∴

A y = 3 4 α 2 ∴

A y = 3 4 a 1 - y h 2 ∴

A y = 3 4 a 2 1 - y h 2

Passo 3

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y ∴

V = ∫ 0 h 3 4 a 2 1 - y h 2 d y ∴

V = 3 4 a 2 ∫ 0 h 1 - y h 2 d y ∴

V = 3 4 a 2 ∫ 0 h 1 - 2 y h + y 2 h 2 d y

Passo 4

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 1 - 2 y h + y 2 h 2 d y = y - 2 h . y 1 + 1 1 + 1 + 1 h 2 . y 2 + 1 2 + 1 + C

= y - y 2 h + y 3 3 h 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida.

Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 0 h 3 4 a 2 1 - y h 2 d y ∴

V = 3 4 a 2 ∫ 0 h 1 - 2 y h + y 2 h 2 d y ∴

V = 3 4 a 2 y - y 2 h + y 3 3 h 2 0 h ∴

V = 3 4 a 2 h - h 2 h + h 3 3 h 2 ∴

V = 3 4 a 2 h - h + h 3 ∴

V = 3 12 a 2 h

Resposta

V = 3 12 a 2 h

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