Enunciado

Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 16 - x 2   e pelo plano y = 5 .

Passo 1

Bom, esse cilindro intercepta o plano X Y em x = 4 no primeiro octante, certo?

Então a nossa região fica:

R = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 4   e   0 ≤ y ≤ 5 }

Aí a gente monta a integral:

∫ 0 5 ∫ 0 4 16 - x 2 d x d y

Passo 2

Beleza, vamos começar integrando em x :

∫ 0 5 16 x - x 3 3 0 4 d y

∫ 0 5 64 - 64 3   d y

∫ 0 5 128 3 d y

Show! Agora é só integrar em y e pronto!

Passo 3

Em y ...

128 y 3 0 5

640 3

Esse é o volume procurado!!

Resposta

640 3

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19. Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido. Abaixo do cone z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 4 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .