Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido.

Abaixo do paraboloide z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 e acima do plano x y .

Passo 1

Para achar o domínio de integração, vamos achar a interseção do paraboloide com o plano x y :

18 - 2 x 2 - 2 y 2 = 0 ⇒ x 2 + y 2 = 9

Assim, o domínio de integração em coordenadas polares será

D = r , θ   0 ≤ r ≤ 3 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π }

Além disso, z = 18 - 2 x 2 - 2 y 2 = 18 - 2 r 2 = 2 9 - r 2 . Desta forma, o volume será

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 9 - r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Fazendo a integral em θ :

V = 4 π ∫ 0 3 9 r - r 3   d r = 4 π 9 r 2 2 - r 4 4 0 3

Portanto,

V = 4 π 81 2 - 81 4 = 2 π ⋅ 81 2 = 81 π

Resposta

81 π

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