Enunciado

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Delimitado pelo hiperboloide - x 2 - y 2 + z 2 = 1 e pelo plano z = 2 .

Passo 1

A questão pede o volume do sólido delimitado pelo hiperboloide e pelo plano z = 2 . Vamos achar primeiro a interseção entre eles para assim obtermos o domínio de integração.

z = 2 ⇒ z 2 = 4 ⇒ - x 2 - y 2 + 4 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 3

Assim, a região de integração será o disco de raio 3 centrado na origem. Além disso, vemos que o plano está acima do hiperboloide nesse domínio, de modo que

V = ∬ D 2 - 1 + x 2 + y 2   d A

Em coordenadas polares:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 - 1 + r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Fazendo a integral em θ :

V = 2 π   ∫ 0 3 2 r - r 1 + r 2   d r

Assim,

V = 2 π   r 2 - 1 3 1 + r 2 3 0 3 = 2 π   3 - 1 3 ⋅ 8 + 1 3 = 4 π 3

Resposta

4 π 3

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