Enunciado

Enquanto um saco de farinha está sendo levantado a uma altura de 3 m, a farinha vaza segundo uma taxa tal que o número de quilos perdidos seja diretamente proporcional à raiz quadrada da distância percorrida. Se o saco continha originalmente 27 kg e se perde um total de 5 kg ao se percorrer os 3 m ache o trabalho realizado para se levantar o saco.

Passo 1

Sabemos que o trabalho d W realizado para levantar um objeto uma altura d z é dado por d W = m g   d z , sendo m a massa do objeto e g o valor da aceleração da gravidade. Colocando o eixo z orientado pra cima e com origem de onde o saco de areia foi levantado, o saco inicialmente está em z = 0 . Devemos então obter W = ∫ 0 3 m g   d z .

Passo 2

Devemos achar primeiro a expressão da massa m em função da altura z do saco. O número de quilos perdidos pelo saco é k z , onde k é uma constante de proporcionalidade. Mas sabemos que no final do levantamento do saco, onde foram percorridos 3 m, foram perdidos 5 kg, então k ⋅ 3 = 5 ⇒ k = 5 3 . O número de quilos perdidos é então 5 3 ⋅ z . Chegamos então a m ( z ) :

m z = 27 - 5 3 z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W :

W = ∫ 0 3 m z g   d z = ∫ 0 3 27 - 5 3 z g d z =

= g 27 z - 5 3 ⋅ z 3 / 2 3 2 0 3 = g 27 z + 10 z 3 / 2 3 3 0 3 =

g 27 ⋅ 3 + 10 ⋅ 3 3 / 2 3 3 - g 27 ⋅ 0 + 10 ⋅ 0 3 / 2 3 3 = 81 g + 10 ⋅ 3 3 3 3 g = 81 g + 10 g = 91 g      

Se g = 9,81 m/s², W = 794,61   J

Resposta

794,61   J

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