Enunciado

Os extremos de uma tina são triângulos equiláteros com lados que medem 60 cm. Se a água na tina tiver 30 cm de profundidade, ache a força devido à pressão do líquido em um extremo.

Passo 1

Se temos uma placa submersa verticalmente em um líquido de densidade ρ , e o comprimento da placa a uma profundidade de x unidades puder ser representado por uma função f ( x ) , contínua e positiva no intervalo [ a ,   b ] , então a força causada pela pressão líquida em um lado da placa é:

F = ρ g ∫ a b x f x d x   N

Devemos primeiro achar uma função f ( x ) que descreva o comprimento da parede da tina em função da profundidade x da água, para podermos calcular F usando a fórmula.

Passo 2

Conseguimos achar o comprimento em função da profundidade por semelhança de triângulos, como mostra a figura. Se l = 60   c m é o lado do triângulo, sua altura é h = l 3 2 = 30 3 2 ≈ 51,96 cm.

Temos então, por semelhança de triângulos:

0,60 0,5196 = f x 0,3 - x ⇒ f x = 1,1547 ⋅ ( 0,3 - x )

Passo 3

Aplicando então a fórmula, com f x = 1,1547 ⋅ ( 30 - x ) e x ∈ 0 , 3 10     m:

F = ρ g ∫ 0 0,3 x ⋅ 1,1547 ⋅ 0,3 - x d x = 1,1547 ρ g ∫ 0 0,3 0,3 x - x 2 d x

= 1,1547 ρ g 0,3 ⋅ x 2 2 - x 3 3 0 0,3

= 1,1547 ρ g 0,15 ⋅ 0,3 2 - 0,3 3 3 = 0,00502 ρ g

Para ρ = 1000   k g / m 3 e g = 9,81   m / s 2 :

F = 49,24   N

Resposta

F = 49,24   N

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