Enunciado

Enuncie uma fórmula integral para a força fluida F exercida sobre uma superfície plana verticalmente submersa em um fluido de peso específico ρ e use somas de Riemann para derivar a fórmula dada.

Passo 1

Bom, de inicio usamos o método do fatiamento na superfície, tornando-as faixas horizontais cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos.

Assim, nós começamos dividindo o intervalo [ a ,   b ] em n subintervalos inserindo

os pontos x 1 , x 2 , ... , x n - 1 entre a = x 0 e b = x n . Isso tem o efeito de dividir a superfície em

n faixas com áreas A k , k = 1 , 2,..., n .

A força F k na k -ésima faixa satisfaz as desigualdades:

ρ h x k - 1 A k ≤   F k   ≤ ρ h x k A k

Como a função profundidade h ( x ) cresce linearmente, deve existir algum ponto x k * entre x k - 1 e x k tal que:

h x k * = F k ρ A k           ∴             F k = ρ A k h x k *

Agora, aproximamos a área A k da   k -ésima faixa da superfície pela área de um retângulo de largura w x k * e altura ∆ x k = x k - x k - 1 . Assim, F k pode ser aproximado por:

F k = ρ A k h x k * ≈ ρ h x k * × w x k * ∆ x k

Onde w x k * ∆ x k é a área do retângulo.

Somando essas aproximações, obtemos a seguinte soma de Riemann, que aproxima a força total F sobre a superfície:

F = ∑ k = 1 n F k ≈ ∑ k = 1 n ρ h x k * w x k * ∆ x k

Tomando o limite quando n cresce e a extensão dos subintervalos tende integral definida a zero, obtemos a integral:

F = lim ∆ x k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ρ h x k * w x k * ∆ x k = ∫ a b ρ h x w x d x

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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