Enunciado

Nos exercícios 27 a 30 , temos uma comporta de uma represa, colocada verticalmente, com a forma indicada.

Calcular a força total contra a comporta

30.Um trapézio isósceles com 17   m de largura e 9   m na base e 5   m de altura; nível d’ água: 2   m acima da base da comporta.

Passo 1

Para essas questão, usaremos a fórmula seguinte:

F = ∫ c d w k - y [ f y - g y ]

Em que g y é a função que limita a comporta a esquerda e f y é a função que limita a comporta à direita.

c limita a comporta por baixo!

d limita a comporta por cima!

w é o peso por unidade de volume

k é o nível do líquido.

Sempre admitiremos a comporta centrada na origem, então, sempre teremos - L / 2 de um lado e L / 2 de outro lado!!

Passo 2

Vamos desenhar o “gráfico” da comporta, e assim conseguiremos tirar as informações que estão nessa integral.

O nível de água, que está em azul, delimita o trapézio e faz com que ele seja limitado até uma altura de 2 .

A comporta está em vermelho, é delimitada em baixo pelos pontos ( - 4 , 5,0 ) e ( 4,5 , 0 ) , pois a base inferior mede 9   m .

Em cima é delimitada pelos pontos ( - 8,5 ; 5 ) e ( 8,5 ; 5 ) , pois o topo precisa medir 17   m e o trapézio tem 5   m de altura.

Então,

c = 0

d = 2

A comporta é delimitada à esquerda pela reta que passa pelos pontos ( - 4,5 , 0 ) e ( - 8,5 ; 5 ) . A reta que passa por esses pontos é a y = - 5 4 x - 45 8 e isolando o x , temos : - 9 2 - 4 5 y = x

À direita a comporta é delimitada pela reta, também, mas essa passa pelos pontos ( 4 , 5,0 ) e ( 8,5 ; 5 ) A reta que passa por esses pontos é a y = 5 4 x - 45 8 só que precisamos de f ( y ) , então isolando o x , temos: 9 2 + 4 5 y = x .

Agora, vamos isolar as nossas funções! É o passo mais fácil!

g y = - 9 2 - 4 5 y

f y = 9 2 + 4 5 y

Para finalizar nossa análise, apenas temos que ver o nível da água. Ora, o nível de água é de 2   m , segundo o enunciado.

k = 2

Passo 3

Substituindo tudo na integral e sabendo que o peso da água por metro cúbico é w = 9.807   N e w t o n .

F = ∫ c d w k - y f y - g y d y = ∫ 0 2 9807 ( 2 - y ) 9 2 + 4 5 y - ( - 9 2 - 4 5 y ) d y = 9807 ∫ 0 2 ( 2 - y ) 9 + 8 y 5 d y

Focando só na integral, temos:

F = 9807 ∫ 0 2 18 - 9 y + 16 y 5 - 8 y 2 5 d y = 9807 ∫ 0 2 18 - 29 5 y - 8 y 2 5 d y

= 9807 + 18 y - 29 10 y 2 - 8 15 y 3 2 0 = 9807   36 - 116 10 - 64 15 = 9807 × 604 30

= 197.447,6   N

Resposta

F = 197.447,6   N

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