Enunciado

Epicicloides. Quando um círculo gira externamente ao longo da circunferência de um segundo círculo fixo, qualquer ponto P na circunferência do círculo que gira descreve uma epicicloide, conforme mostrado aqui. Suponha que o círculo fixo tenha seu centro na origem O e raio   a .

Seja b o raio do círculo que gira e seja a posição inicial do ponto P traçado A ( a ,   0 ) . Encontre equações paramétricas para a epicicloide, utilizando como parâmetro o ângulo θ a partir do

eixo x positivo até a reta que passa pelos centros dos círculos.

Passo 1

Oi galerinha, este exercício é mais teórico, mas vamos resolve-lo juntos. Vamos lá!

Podemos observar que quando o círculo gira, o centro C descreve um círculo centrado em O e de raio a + b . Como θ é a medida do ângulo que o semieixo O X positivo faz com a semirreta O C → no sentido positivo, temos que:

C = ( a + b cos ⁡ θ , a + b sen ⁡ θ )

Seja o sistema C X ' Y ' obtido por uma rotação positiva de ângulo θ do sistema O X Y seguida de uma translação dos eixos que leva o ponto O = 0 ,   0 no ponto C = x 0 ,   y 0 , onde:

x 0 = a + b cos ⁡ θ

E:

y 0 = a + b sen ⁡ θ

são as coordenadas de C no sistema O X Y .

Passo 2

Se considerarmos que t é a medida do ângulo que a semirreta C O → faz com a semirreta C P → no sentido positivo, então π + t é o ângulo que o semieixo C X ' positivo faz com a semirreta C P → no sentido positivo. Assim:

x ' = b cos ⁡ π + t = - b cos ⁡ t y ' = b sen ⁡ π + t = - b sen ⁡ t

são coordenadas de P no sistema C X ' Y ' . Logo, pelas seguintes equações de mudança de coordenadas:

x = x ' cos ⁡ θ - y ' sen ⁡ θ + x 0 y = x ' sen ⁡ θ + y ' cos ⁡ θ + y 0

Onde x ' e y ' são coordenadas de P no sistema O X ' Y ' . Então:

x = - b cos ⁡ t cos ⁡ θ + b sen ⁡ t sen ⁡ θ + a + b cos ⁡ θ y = - b cos ⁡ t sen ⁡ θ - b sen ⁡ t cos ⁡ θ + a + b sen ⁡ θ

x = a + b cos ⁡ θ - b cos ⁡ θ + t y = a + b sen ⁡ θ - b sen ⁡ θ + t

Substituindo t = a t b , obtemos as seguintes equações paramétricas da epiciclóide em função apenas do parâmetro θ :

x = a + b cos ⁡ θ - b cos ⁡ a + b b θ y = a + b sen ⁡ θ - b sen ⁡ a + b b θ

Tchau pessoal.

Resposta

x = a + b cos ⁡ θ - b cos ⁡ a + b b θ y = a + b sen ⁡ θ - b sen ⁡ a + b b θ

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