Enunciado

Esboce as seções cônicas cujas equações de coordenadas polares são fornecidas nos Exercícios 77-80. Forneça coordenadas polares para os vértices e, no caso de elipses, para os centros também.

r = 8 2 + cos ⁡ θ

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Seja F um ponto fixado (chamado foco) e l uma reta fixada (denominada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo fixado (conhecido como excentricidade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que:

P F P l = e

Ou seja, a razão da distância a F e da distância a l é a constante e é uma seção cônica.

A cônica para:

  • Elipse e < 1 ;
  • Parábola e = 1 ;
  • Hipérbole e > 1 .

A seguinte equação polar representa uma seção cônica:

Sabendo disso iremos para nosso exercício no próximo passo.

Passo 2

Do enunciado temos a seguinte Equação:

r = 8 2 + cos ⁡ θ

Dividindo o numerador e o denominador por 2 para colocar a equação em forma polar padrão:

r = 4 1 + cos ⁡ θ 2

Podemos observar que a excentricidade é e = 1 / 2 , portanto, representa uma elipse. Como e d = 4 , temos:

d = 4 1 / 2 = 8

Logo, a diretriz tem a equação cartesiana x = 8 . Então quando:

  • θ = 0 :
  • r = 4 1 + cos ⁡ 0 2 = 8 3

  • θ = π :
  • r = 4 1 + cos ⁡ π 2 = 8

    Nossos vértices em coordenadas polares são V 8 / 3 ,   0 e V 8 ,   π

    Passo 3

    Para descobrirmos o centro, temos a equação polar para a elipse:

    r = a 1 - e 2 1 + e cos ⁡ θ

    E também sabemos que:

    e = c a

    Primeiro iremos descobrir o valor de a :

    a 1 - e 2 = 4

    a 1 - 1 2 2 = 4

    a - a 4 = 4

    a = 16 3

    Logo:

    c = 1 2 ∙ 16 3 = 8 3

    Sendo assim, o centro em coordenadas polares é C 8 3 ,   0 .

    Passo 4

    Usando o programa computacional WolframAlpha, conseguimos esboçar a seguinte curva:

    Agora acabamos, espero que tenha conseguido me acompanhar. Até mais!

    Resposta

  • V 8 / 3 ,   0 e V 8 ,   π ;
  • C 8 / 3 ,   0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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