Enunciado

Os Exercícios 81-84 fornecem as excentricidades das seções cônicas com um foco na origem do plano de coordenadas polares, com a diretriz para aquele foco. Encontre uma equação polar para cada seção cônica.

e = 1 / 2 , r sen ⁡ θ = 2 .

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Seja F um ponto fixado (chamado foco) e l uma reta fixada (denominada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo fixado (conhecido como excentricidade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que:

P F P l = e

Ou seja, a razão da distância a F e da distância a l é a constante e é uma seção cônica.

A cônica para:

  • Elipse e < 1 ;
  • Parábola e = 1 ;
  • Hipérbole e > 1 .

A seguinte equação polar representa uma seção cônica:

Onde k = x ou k = y . Sabendo disso iremos para nosso exercício no próximo passo.

Passo 2

Pelo enunciado, sabemos que e = 1 / 2 , r sen ⁡ θ = 2 . Além disso, da transformação das coordenadas cartesianas em polares:

y = r sen ⁡ θ

Logo:

k = y = 2

Então temos a seguinte equação polar:

r = 2 ∙ 1 2 1 + 1 2 sen ⁡ θ = 1 1 + sen ⁡ θ 2

r = 2 2 + sen ⁡ θ

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

r = 2 2 + sen ⁡ θ .

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