Enunciado

Esboce as seções cônicas cujas equações de coordenadas polares são fornecidas nos Exercícios 77-80. Forneça coordenadas polares para os vértices e, no caso de elipses, para os centros também.

r = 2 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

Seja F um ponto fixado (chamado foco) e l uma reta fixada (denominada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo fixado (conhecido como excentricidade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que:

P F P l = e

Ou seja, a razão da distância a F e da distância a l é a constante e é uma seção cônica.

A cônica para:

  • Elipse e < 1 ;
  • Parábola e = 1 ;
  • Hipérbole e > 1 .

A seguinte equação polar representa uma seção cônica:

Sabendo disso iremos para nosso exercício no próximo passo.

Passo 2

Do enunciado temos a seguinte Equação:

r = 2 1 + cos ⁡ θ

Podemos observar que a excentricidade é e = 1 , portanto, representa uma parábola. Agora precisamos descobrir o vértice dessa parábola e sabemos que a equação cartesiana da parábola é:

y - k 2 = 4 p x - h

Onde o vértice é representado por V h ,   k .

Sendo assim, iremos transformar a equação polar em cartesiana, onde:

Reescrevendo a equação:

r + r cos ⁡ θ = 2

r + x = 2

r = 2 - x

Elevando ambos os lados ao quadrado:

r 2 = 2 - x 2

x 2 + y 2 = 4 - 4 x + x 2

y 2 = 4 1 - x

Passo 3

Então podemos observar que:

h = 1 k = 0

Como já vimos, o vértice V 1 ,   0 é o mesmo para coordenadas cartesianas e polares.

Usando o programa computacional WolframAlpha, conseguimos esboçar a seguinte curva:

Tchau galerinha.

Resposta

V 1 ,   0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 47 a 56 , calcular a área limitada pela curva dada.
Encontrar a área da intersecção entre r = 2 a c o s theta e r = 2 a s e n theta .
Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Nos exercícios de 39 a 46 , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.