Enunciado

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

62. d y d x = 1 + e y - x + 5

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = 1 + e y - x + 5

Fazendo a seguinte substituição:

u = y - x + 5

Teremos:

d u d x = d y d x - 1

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x + 1 = 1 + e u

Isolando as variáveis:

d u e u = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ e - u d u = ∫ d x

A integral da esquerda tem um resultado bastante conhecido, que é:

∫ e - u d u = - e - u + c 1

E a integral da direita tem como resultado:

∫ d x = x + c 2

Top!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

- e - u + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

e - u = x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

e - y - x + 5 = x + c 3

E esse é o nosso resultado!

Resposta

e - y - x + 5 = x + c 3

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