Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

d y d x = y x + x 2 y 2 + 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Primeiro vamos arrumar nossa equação...

d y d x = y x + x 2 y 2 + 1

d y d x =   y 3 + x 3 + x y 2 x y 2

x y 2   d y = y 3 + x 3 + x y 2   d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x y 2   d y = y 3 + x 3 + x y 2   d x

x 3 u 2   u   d x + x   d u = ( u 3 x 3 + x 3 + x 3 u 2 )   d x

x 3 u 3 d x + x 4 u 2 d u = u 3 x 3   d x + x 3   d x + x 3 u 2 d x

x 4 u 2 d u = x 3 d x + x 3 u 2   d x

x   u 2 d u = d x + u 2 d x

x u 2   d u = d x 1 + u 2

u 2 1 + u 2 = d x x

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ 1 x d x = ∫ u 2 1 + u 2   d x

ln ⁡ | x | = u - a r c t g   u + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | = y x - a r c t g y x + C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | = y x - a r c t g y x + C

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