Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x d y d x - y = x 2 + y 2

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Primeiro vamos escrever nossa equação do jeitinho que a gente precisa:

x d y d x = x 2 + y 2 + y

x   d y = x 2 + y 2 + y d x

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x   d y = x 2 + y 2 + y d x

x   u   d x + x   d u = x 2 + u 2 x 2 + u x d x

u x   d x + x 2 d u = x 1 + u 2 d x + u x   d x

x d u =   1 + u 2   d x

d u 1 + u 2 = d x x

Temos uma EDO separável agora, só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d u 1 + u 2 = ∫ d x x

ln ⁡ u + 1 + u 2 = ln ⁡ x + C

E como y = u x → u = y x , temos:

ln ⁡ y x + 1 + y 2 x 2 = ln ⁡ | x | + C

ln ⁡ y x + x 2 + y 2 x x = C

ln ⁡ y + x 2 + y 2 x 2 = C

e ln ⁡ y + x 2 + y 2 x 2 = e C

y + x 2 + y 2 x 2 = C 1

y + x 2 + y 2 = C 1 x 2

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

y + x 2 + y 2 = C 1 x 2

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