Enunciado

A equação diferencial:

x d x d y 2 + 2 y . d x d y = x

Em que x = x y , ocorre no estudo da óptica. A equação descreve o tipo de curva plana que refletirá todo raio de luz incidente para o mesmo ponto (veja problema 15, exercícios 1.2). Mostre que a curva é uma parábola. (Sugestão: use a substituição w = x 2 e reexamine a seção 2.6.)

Passo 1

Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:

x d x d y 2 + 2 y . d x d y = x

O enunciado nos diz para fazer a substituição w = x 2 , certo? Disso tiramos que:

d w d y = 2 x . d x d y

Substituindo, teremos:

d x d y 2 + 2 y x . d x d y = 1

w = y . d w d y + 1 4 d w d y 2

Que é uma equação de Clairaut, conforme estudamos na seção 2.6.

Passo 2

Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

w = y w ' + f w '

Que é exatamente o formato que temos! Vamos fazer uma substituição do tipo p = d w d y , ok? Fazendo isso, teremos:

w = y p + 1 4 p 2

Derivando isso, teremos:

d w d y = 1 . p + y . d p d y + 1 4 . 2 p . d p d y

Logo:

0 = y . d p d y + 1 2 p . d p d y

d p d y y + 1 2 p = 0

Show!

Passo 3

Para o produto que encontramos temos duas possibilidades:

d p d y = 0

Ou:

y + 1 2 p = 0

Da primeira tiramos que:

p = c

E então, substituindo na nossa solução, teremos:

w = y p + 1 4 p 2

w = y c + 1 4 c 2

Como w = x 2 , nossa resposta final será:

x 2 = c y + 1 4 c 2

E está aí, galera!

Resposta

x 2 = c y + 1 4 c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x y ' ' = y ' + x y ' 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x y ' ' - y ' = 0
Resolvay e x y d x d y + x e x y = 12 y 2 sujeito a y 0 = - 1 .
Resolva 6 x + 1 y 2 d y d x + 3 x 2 + 2 y 3 = 0 .
Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição. y ' ' = x - y '