Resolva (6x + 1)y^2 \* dy/dx + 3x^2 + 2y^3 = 0

Passo 1

Opa! Tudo joinha?

Vamos resolver essa equação aqui:

6 x + 1 y 2 d y d x + 3 x 2 + 2 y 3 = 0

Vamos dar uma arrumadinha nela pra entender que tipo de EDO é essa...

6 x + 1 y 2   d y = - 3 x 2 + 2 y 3 d x

3 x 2 + 2 y 3 d x + 6 x y 2 + y 2 d y = 0

Opa! Perceba que:

∂ M ∂ y = 6 y 2

∂ N ∂ x = 6 y 2

Então temos uma equação exata! Bora resolver!

Passo 2

Pra resolver uma equação exata, a gente primeiro vai integrar M ( x , y ) :

∫ 3 x 2 + 2 y 3 d x

= x 3 + 2 x y 3 + g y             ( * )

E agora a gente deriva isso em relação a y :

= 6 x y 2 + g ' ( y )

Show! Comparando com N ( x , y ) ...

6 x y 2 + g ' y = 6 x y 2 + y 2

Temos que:

g ' y = y 2

Passo 3

E aí pra descobrir g ( y ) , a gente integra:

g y = ∫ y 2   d y

g y = y 3 3 + C

E agora a gente substitui isso na equação ( * ) :

x 3 + 2 x y 3 + g y  

x 3 + 2 x y 3 + y 3 3 = C

E pronto! Equação resolvida😉

Resposta

x 3 + 2 x y 3 + y 3 3 = C

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