Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x y ' ' = y ' + x y ' 2

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

x y ' ' = y ' + x y ' 2

Vamos reduzir a ordem dela, fazendo u = y ' . Daí temos:

u ' = y ' '

Vamos substituir isso na nossa EDO agora...

Passo 2

Substituindo na EDO, temos:

x u ' = u + x u 2

u ' - u x = u 2

E essa é uma equação de Bernoulli, lembra dela? Vamos resolver...

Passo 3

Pra resolver uma equação de Bernoulli, usamos a substituição:

w = u 1 - n

E no nosso caso, n = 2 , temos:

w = u - 1 → u = 1 w

d w d x =   - u - 2 d u d x

d u d x = - u 2 d w d x

d u d x = - 1 w 2 d w d x

Substituindo na nossa:

u ' - u x = u 2

- 1 w 2 d w d x - 1 w x = 1 w 2

d w d x + w x = - 1

Passo 4

Agora chegamos a uma equação linear, vamos resolver, lembrando que a solução é da forma:

w = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1 x

q x = - 1

w = e - ∫ 1 x   d x ∫ e ∫ 1 x   d x - 1   d x

w = e - ln ⁡ x   ∫ e ln ⁡ x - 1   d x

w = 1 x ∫ - x   d x

w = 1 x - x 2 2 + C

w = - 1 2 x + C x

w = - x 2 + C 1 2 x

Passo 5

Agora só falta voltar para nossa variável inicial! Voltando primeiro para u .

Lembrando que:

w = 1 u

u = 2 x - x 2 + C 1

E agora voltando para x   e   y , lembrando que:

u = y '

Temos:

y ' = 2 x - x 2 + C 1

Então:

y = ∫ 2 x - x 2 + C 1

y =   - ln ⁡ C 1 - x 2 + C 2

E terminamos! 😉

Resposta

y =   - ln ⁡ C 1 - x 2 + C 2

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Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.1. x e 2 y . d y d x + e 2 y = ln ⁡ x x
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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x - 4 x y = 2 x 5 e y x 4
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. d y d x + x + y + 1 = x + y 2 e 3 x
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. sen ⁡ y   s e n h   x   d x + cos ⁡ y cosh ⁡ x   d y = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y d x d y + 2 x ln ⁡ x = x e y
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + y ' 2 + 1 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0