Enunciado

Qual equação integral é equivalente ao problema de valor inicial y ' = f x ,     y x 0 = y 0 ?

Passo 1

Bom, se a derivada é y ' = f ( x ) temos que escrever a derivada dessa função para encontrarmos y . Lembrando que o limite de integração começa no valor inicial de x 0 .

y =   ∫ x 0 x f t d t + C

(Usamos t porque o x tá nos limites de integração, e o C e a constante)

Faremos agora a y x 0 usando a função de y aí de cima...

y x 0 = ∫ x 0 x 0 f t d t + C  

A gente sabe que y x 0 = y 0 e que uma integral com limites de integração iguais resulta em zero né?

Então olha só:

y x 0 = ∫ x 0 x 0 f t d t + C = y 0 = C

Então o valor da constante é y 0 .

Agora é só substituir na função de y …

y =   ∫ x 0 x f t d t + y 0

Essa aí é a equação integral procurada.

Resposta

y =   ∫ x 0 x f t d t + y 0

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