Enunciado

A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x é x = e - t sen ⁡ t , t ≥ 0 .

a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t .

b) Calcule lim t → + ∞ ⁡ e - t sen ⁡ t .

c) Esboce o gráfico da função.

d) Interprete tal movimento.

Passo 1

a) A velocidade é a derivada de função posição, assim como a aceleração é derivada da função velocidade.

Assim:

v t = x ' t = d d t e - t sen ⁡ t = - e - t sen ⁡ t + e - t cos ⁡ t

v t = e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t

Bem como:

a t = v ' t = d d t e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t

a t = - e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t + e - t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

a t = e - t - sen ⁡ t - cos ⁡ t - cos ⁡ t + sen ⁡ t

a t = - 2   e - t cos ⁡ t

Assim, a velocidade e a aceleração, são, respectivamente, v t = e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t e a t = - 2   e - t cos ⁡ t .

Passo 2

b) Para lim t → + ∞ ⁡ e - t sen ⁡ t , temos o produto de uma função limitada (que é o sen ⁡ t pois seu valor sempre estará entre 0 e 1 ) com uma função que vai para zero ( e - t ), então esse limite vai para zero.

Logo

lim t → + ∞ ⁡ e - t sen ⁡ t = 0

Passo 3

c) O gráfico da função então, é dado por:

d) Vemos que o movimento da partícula está sempre oscilando em torno de x = 0 se deslocando ao longo do eixo x tendendo ao equilíbrio no infinito, ou seja, a partícula está em “zigue-zague”. Para ilustrar a situação, podemos dar o exemplo, podemos citar o pêndulo que é solto, esticado, de um certo ângulo com relação ao seu equilíbrio.

Resposta

a) v t = e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t e a t = - 2   e - t cos ⁡ t .

b) lim t → + ∞ ⁡ e - t sen ⁡ t = 0

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