Enunciado

A posição de uma partícula que se desloca ao longo de eixo x varia com o tempo segundo a equação x = v 0 k 1 - e - k t , t ≥ 0 , em que v 0 e k são constantes estritamente positivas.

a) Qual a velocidade no instante t ?

b) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: “a função é estritamente crescente”.

c) Qual a aceleração no instante t ?

d) Com argumentos físicos, justifique a afirmação: “o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo”.

e) Calcule lim t → + ∞ ⁡ v 0 k 1 - e - k t .

f) Esboce o gráfico da função.

Passo 1

a) A velocidade em t é a derivada de sua função posição nesse ponto, logo:

v t = x ' t = v 0 k ⋅ - e - k t ⋅ - k = v 0 e - k t

v t = v 0 e - k t

Passo 2

b) Se v 0 é uma constante estritamente positiva, e como um número positivo, não nulo, elevado a qualquer coisa sempre será positivo, mas também nunca será zero, então temos que v 0 e - k t > 0 .

Assim, a velocidade sempre será positiva, e se isso acontecer, em todo instante, teremos valores de x maiores que os valores dos instantes anteriores. Logo, podemos concluir que a função é estritamente crescente.

Passo 3

c) A aceleração é a derivada da velocidade, então:

a t = v ' t = - k v 0 e - k t

a t = - k v 0 e - k t

Passo 4

d) Como os termos k , v 0 e e - k t são todos positivos, temos que - k v 0 e - k t é sempre negativo, ou seja, temos sempre uma aceleração negativa que faz com que a velocidade diminua.

Se a velocidade está sempre diminuindo, mas é sempre positiva, à medida que aumentamos t , o valor de x cresce cada vez mais lentamente. Esse movimento descreve uma curva cuja concavidade é voltada para baixo. Logo, podemos concluir que o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo.

Passo 5

e) Para lim t → + ∞ ⁡ v 0 k 1 - e - k t temos:

v 0 k 1 - e - k t = v 0 k - v 0 k e k t

Então:

lim t → + ∞ ⁡ v 0 k 1 - e - k t = lim t → + ∞ ⁡ v 0 k - v 0 k e k t = v 0 k - 0

lim t → + ∞ ⁡ v 0 k 1 - e - k t = v 0 k

Passo 6

f) Assim, podemos esboçar o gráfico da função como:

Onde a reta pontilhada em verde é a reta v 0 k em que a função v 0 k 1 - e - k t se alinha quando t tende ao infinito.

Resposta

a) v t = v 0 e - k t

c) a t = - k v 0 e - k t

e) lim t → + ∞ ⁡ v 0 k 1 - e - k t = v 0 k

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