Enunciado

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Nos Exercícios de 33 a 35, use o conceito de taxa relativa, definido como segue se y = f(x), a

taxa relativa da variação de y com relação a x em x1 é dada por f ' x 1 f x 1 ou, equivalentemente,

dy / dx y calculada em x = x1.

33. O rendimento anual bruto de uma empresa t anos a partir de 1º de janeiro de 1988 é p milhões e

p = 2 5 t 2 + 2 t + 10

  1. Ache a taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de janeiro de 1990;
  2. Ache a taxa de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de janeiro de 1990 com aproximação de um-décimo da percentagem.

Passo 1

A função fornecida nada mais é que a função rendimento de uma empresa. Achar a taxa de crescimento desse rendimento nada mais é que achar a função de rendimento marginal, que é só derivar a função dada, e avaliar no instante de tempo que ele deseja.

Achar o crescimento relativo já está fácil de ver como vamos encontrá-lo, basta usar a fórmula fornecida pelo enunciado: f ' x 1 f x 1

Mas uma diferença a ser notada entre a taxa de crescimento relativo e a de crescimento absoluto (uma outra forma de falar o que o item “a” pede) é que a relativo é dada em porcentagem e a absoluto é definida por números.

Por isso a aproximação de um- décimo de porcentagem pedido no enunciado, que nada mais é que uma aproximação até a primeira casa decimal.

Um outro detalhe a ser notado é que a função fornecida pelo enunciado só começa a valer a parti de 1º de janeiro de 1988, logo até o dia 1º de janeiro de 1990 só se passaram 2 anos, assim t = 2 será o instante avaliado.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a função p para encontrar a função rendimento marginal:

p ( t ) = 2 5 t 2 + 2 t + 10

p ' ( t ) = 4 5 t + 2

Passo 3

Agora substituindo t = 2 na função encontrada, acharemos a taxa de crescimento do rendimento bruto:

p ' ( t ) = 4 5 t + 2

            p ' ( 2 ) = 4 5 ( 2 ) + 2

                                                                  = 8 5 + 2 = 18 5 = 3,6

Passo 4

Agora para resolver o item “b” vamos calcular somente p(2), já que o p’(2) já foi calculado no item “a”, depois usaremos a fórmula fornecida pelo enunciado:

f ' x 1 f x 1 ⇒ p ' t 1 p t 1

p ' 2 = 3 , 6

p 2 = 2 5 2 2 + 2 ( 2 ) + 10

    = 2 4 5 + 4 + 10

                          = 8 5 + 14 = 78 5 = 15,6

Substituindo na fórmula do enunciado:

p ' t 1 p t 1 ⇒ p ' 2 p 2

= 3,6 15,6 ≈ 0,231 ⇒ 23,1 %

Resposta

  1. A taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de janeiro de 1990 era de 3,6 milhões ao ano.
  2. A taxa de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1990 é de 23,1%.

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