Enunciado

Quando R x = - 1 , a equação de Ricatti pode ser escrita como y ' + y 2 - Q x y - P x = 0 . Mostre que a substituição y = w ' w conduz à equação linear de segunda ordem w ' ' - Q x w ' - P w w = 0 (Quando Q e P são também constantes, não é difícil resolver equações deste tipo.)

Passo 1

Então pessoal, a equação de Ricatti que nos foi dada é a seguinte:

y ' + y 2 - Q x y - P x = 0

E a questão quer que mostremos que quando utilizamos a substituição y = w ' w , isso nos leva a:

w ' ' - Q x w ' - P w w = 0

Então bora que bora!

Passo 2

Da substituição que nos foi dada:

y = w ' w

Tiramos que:

d y d x = w ' ' . w - w ' . w ' w 2

Aqui vale ressaltar que utilizarmos a regra do quociente, ok? Simplificando, teremos:

d y d x = w ' ' . w - w ' 2 w 2

Show!

Passo 3

Agora que encontramos y ' , vamos substituir na equação de Ricatti, saca só:

y ' + y 2 - Q x y - P x = 0

w ' ' . w - w ' 2 w 2 + w ' w 2 - Q x . w ' w - P x = 0

w ' ' . w - w ' 2 + w ' 2 w 2 - Q x . w ' w - P x = 0

w ' ' w - Q x . w ' w - P x = 0

Multiplicando tudo por w :

w ' ' - Q x w ' - P x w = 0

Que é exatamente a expressão que queríamos encontrar! 😉

Resposta

Demonstração!

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