Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

23. x y ' - y = e y '

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

x y ' - y = e y '

Ou melhor:

y = x . d y d x - e d y d x

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x . p - e p

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x - e p . d p d x

d y d x = p + d p d x x - e p

Logo:

p = p + d p d x x - e p

Simplificando, teremos:

d p d x x - e p = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x - e p = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x . p - e p

∴ y = c x - e c

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x = e p y = x . p - e p

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . ln ⁡ x - e ln ⁡ x

∴ y = x . ln ⁡ x - x

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = c x - e c

Solução singular: y = x . ln ⁡ x - x

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