Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^2 int_0^(y^2) x^2 y d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a x e considerar y como uma constante:

int_0^(y^2) x^2 y d x = [(x^3 y)/(3)]_0^(y^2)

int_0^(y^2) x^2 y d x = (y)/(3) [x^3]_0^(y^2)

int_0^(y^2) x^2 y d x = (y)/(3) [(y^2)^3 - (0)^3]

int_0^(y^2) x^2 y d x = (1)/(3) y^7

Logo:

int_0^2 int_0^(y^2) x^2 y d x d y = int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y

Passo 2

Agora é só integrar com relação a x :

int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y = (1)/(3) [(y^8)/(8)]_0^2

int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y = (1)/(24) [y^8]_0^2

int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y = (1)/(24) [(2)^8 - (0)^8]

int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y = (1)/(24) [256]

int_0^2 ((1)/(3) y^7) d y = (32)/(3)

Logo:

int_0^2 int_0^(y^2) x^2 y d x d y = (32)/(3)

Resposta

int_0^2 int_0^(y^2) x^2 y d x d y = (32)/(3)

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