Enunciado

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

t 2 ⋅ y ' ' = y ' 2 ,       t > 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando v = y ' e v ' = y ' ' , temos que nossa equação fica como:

t 2 ⋅ v ' = v 2

Podemos escrever a equação como:

d v v 2 = d t / t 2

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

- 1 v = - 1 t + k

1 v = 1 t + k 1

t ⋅ 1 v = 1 + t ⋅ k 1

t = 1 + t ⋅ k 1 ⋅ v

v = t 1 + t ⋅ k 1

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v = t 1 + t ⋅ k 1

Se k 1 = 0 , temos que

y = 1 2 ⋅ t 2

Se k 1 ≠ 0 , temos que

y = t k 1 - ln ⁡ 1 + k 1 ⋅ t k 1 2 + k 2

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

y = 1 2 ⋅ t 2

y = t k 1 - ln ⁡ 1 + k 1 ⋅ t k 1 2 + k 2

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