Enunciado

Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d v d t = f ( y , v ) . Como a expressão à direita do sinal de igualdade depende de y e v , em vez de t e v , essaequação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como a variável independente, pela regra da cadeia temos d v d t = d v d y d y d t = v d v d y . Portanto, a equação diferencial original pode ser resolvida, obteremos v como função de y . Então poderemos obter uma relação entre y e t resolvendo d y d t = v y , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contém duas constantes arbitrárias. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.

y ' ' + y ' 2 = 2 ⋅ e - y

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como:

v ' ⋅ v + v 2 = 2 ⋅ e - y

Como se trata de uma equação de Bernoulli, vamos aplicar uma outra transformação, na qual z = v 2 e z ' = 2 ⋅ v ⋅ v ' . Assim, podemos reescrever a equação como:

z ' 2 + z = 2 ⋅ e - y

z ' + 2 ⋅ z = 4 ⋅ e - y

Usando o fator integrante μ y = e 2 ⋅ y . Multiplicando toda equação, temos que:

e 2 ⋅ y ⋅ z ' + 2 ⋅ e 2 ⋅ y ⋅ z = 4 ⋅ e y

d d y e 2 ⋅ y ⋅ z = 4 ⋅ e y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

e 2 ⋅ y ⋅ z = 4 ⋅ e y + k 1

v 2 = z = 4 ⋅ e - y + k 1 ⋅ e - 2 ⋅ y

v = ± e - y ⋅ 4 ⋅ e y + k 1

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = ± e - y ⋅ 4 ⋅ e y + k 1

d y d t = ± e - y ⋅ 4 ⋅ e y + k 1

± e y 4 ⋅ e y + k 1 ⋅ d y = d t

± 1 2 ⋅ k 1 + 4 ⋅ e y 1 2 = t + k 2

Sendo essas nossas soluções para a equação.

Resposta

± 1 2 ⋅ k 1 + 4 ⋅ e y 1 2 = t + k 2

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