Enunciado

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Esboce a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 1 + cos ⁡ θ ,               r = 3 cos ⁡ θ

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro da curva r = 1 + cos ⁡ θ e fora da curva r = 3 cos ⁡ θ . Um esboço das duas curvas é dado a seguir:

Para saber os limites de integração, temos que achar onde as curvas de cortam:

r = 1 + cos ⁡ θ r = 3 cos ⁡ θ

Portanto,

1 + cos ⁡ θ = 3 cos ⁡ θ ⇒ 2 cos ⁡ θ = 1 ⇒ cos ⁡ θ = 1 2 ⇒ θ = π 3           o u             θ = 5 π 3

Passo 2

Vamos olhar apenas para a parte da região acima do eixo x . No final basta multiplicar a resposta por 2 .

A área da curva de fora será

A f o r a = 1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2   d θ = 1 2 ∫ π 3 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabemso também que

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Logo,

A f o r a = 1 2 ∫ π / 3 π 1 + 2 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ = 1 2 ∫ π / 3 π 3 2 + 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

Portanto,

A f o r a = 1 2 3 2 θ + 2   s e n   θ + 1 4 s e n   2 θ π / 3 π

Logo,

A f o r a = 1 2 3 2 π - π 3 - 2 s e n π 3 - 1 4 s e n 2 π 3 = 1 2 π - 3 - 3 8 = π 2 - 9 3 16

Passo 3

Agora vamos achar a áre da região da curva de dentro. Nesse caso, θ vai de π / 3 até π / 2 :

A d e n t r o = 1 2 ∫ π / 3 π / 2 9 cos 2 ⁡ θ   d θ = 9 4 ∫ π / 3 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ

Logo,

A d e n t r o = 9 4 θ + 1 2 s e n   2 θ π / 3 π / 2 = 9 4 π 2 - π 3 - 1 2 s e n 2 π 3

Portanto,

A d e n t r o = 9 4 π 6 - 3 4 = 3 π 8 - 9 3 16

A área que queremos achar é

A = 2   A f o r a - A d e n t r o = 2   π 2 - 9 3 16 - 3 π 8 - 9 3 16

Portanto,

A = 2   π 2 - 3 π 8 2 ⋅ π 8

Assim,

A = π 4

Resposta

A = π 4

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