Enunciado

Esboce a área da região que está dentro de ambas as curvas.

r 2 = 2   s e n   2 θ ,               r = 1

Passo 1

O problema pede para acharmos a área da região dentro das curvas r 2 = 2   s e n   2 θ e r = 1 . Um esboço das duas curvas é dado a seguir:

A região entre as curvas tem partes no primeiro e no terceiro quadrante. Vamos olhar apenas para o primeiro quadrante e multiplicar a resposta final por 2 . Na verdade, vamos fazer mais que isso: note que a curva y = x ( θ = π / 4 ) separa a região do primeiro quadrante em duas regiões idênticas. Assim, vamos olhar apenas para a região até θ = π / 4 e multiplicar o resultado por 4.

Vamos procurar o ponto de encontro entre as curvas no primeiro quadrante:

r 2 = 2   s e n   2 θ r = 1

Assim,

2   s e n   2 θ = 1 ⇒ s e n   2 θ = 1 2 ⇒ 2 θ = π 6 ⇒ θ = π 12

Dest forma, a área pedida será

A = 4 ⋅ ∫ 0 π 12 1 2 r v e r m e l h o 2   d θ + ∫ π 12 π 4 1 2 r v e r d e 2   d θ

Logo,

A = 2   ∫ 0 π 12 2   s e n   2 θ   d θ + ∫ π / 12 π / 4 1 2   d θ

Passo 2

Portanto,

A = 2   - cos ⁡ 2 θ 0 π 12 + 1 2 π 4 - π 12

Logo,

A = 2   - cos ⁡ π 6 + cos ⁡ 0 + 1 2 ⋅ π 6 = 2   1 - 3 2 + π 12 = 2 - 3 + π 6

Resposta

A = 2 - 3 + π 6

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