Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela

r = 2 cos 3 theta

Passo 1

Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de theta dentro do intervalo 0 <= theta <= 2 pi e obter os valores de r correspondentes. Assim a gente plota os pontos ( r , theta ) , depois liga.

Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?

Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 pi

Maaaas, repare que a curva é simétrica e pode ser dividida em 6 partes iguais, se a gente dividir cada “pétala” pela metade.

Olhando somente para a pétala que tá no lado direito da figura, a metade dela está limitada pelo eixo polar theta = 0 e theta = (pi)/(6) . Assim, podemos fazer

0 <= theta <= (pi)/(6)

E calcular a área da curva apenas nesse intervalo e depois multiplicar por 6. Beleza?

Continuando, o r é a própria parametrização

r = 2 cos 3 theta

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) (2 cos 3 theta)^2 d theta

A_1 = (1)/(2) int_0^((pi)/(6)) ( 4 cos^2 3 theta ) d theta

A_1 = (4)/(2) int_0^((pi)/(6)) cos^2 3 theta d theta

A_1 = 2 int_0^((pi)/(6)) (1)/(2) ( 1 + cos 2.3 theta ) d theta

A_1 = int_0^((pi)/(6)) ( 1 + cos 6 theta ) d theta

A_1 = [ theta + (1)/(6) sen 6 theta ] [[(pi)/(6)],[0]]

A_1 = [ (pi)/(6) + (1)/(6) sen pi - 0 + (1)/(6) sen 0 ] [[(pi)/(6)],[0]]

A_1 = [ (pi)/(6) + 0 - 0 + 0 ] [[2,pi],[0]]

A_1 = (pi)/(6)

Assim,

A_T = A_1 xx 6 = pi

Resposta

A = pi

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