Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.4 - Ex. 13
Esboce a curva e calcule a área limitada por ela
Passo 1
Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.
Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de dentro do intervalo e obter os valores de correspondentes. Assim a gente plota os pontos , depois liga.
Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?
Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:
Passo 2
Agora sim vamos calcular a área da curva!
A área de uma curva em coordenadas polares é dada por
Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.
Passo 3
O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:
Maaaas, repare que a curva é simétrica e pode ser dividida em 6 partes iguais, se a gente dividir cada “pétala” pela metade.
Olhando somente para a pétala que tá no lado direito da figura, a metade dela está limitada pelo eixo polar e . Assim, podemos fazer
E calcular a área da curva apenas nesse intervalo e depois multiplicar por 6. Beleza?
Continuando, o é a própria parametrização
Então é só substituir e integrar esse negocio.
Passo 4
Vamos lá:
Assim,