Enunciado

Encontre a área da região dentro de um laço, onde r = 4 s e n 3 θ .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .

Teremos que ∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = R b - R ( a ) onde R é uma primitiva de 1 2 r θ 2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

No problema, precisamos identificar o intervalo onde a curva faz um laço, como a função que determina o raio e periódica de período menor que 2 π em algum momento ela “se fecha” e esse intervalo sera nosso domínio de integração.

Passo 2

Temos que r 0 = 0 = r ( π 3 ) , onde π 3 e o menor ângulo entre 0 e 2 π onde a função volta ao zero, então temos que nosso intervalo é: [ 0 , π 3 ] .

Passo 3

Como a expressão do raio foi dada, já podemos calcular a integral:

∫ a b 1 2 r θ 2 d θ = ∫ 0 π 3 16   s e n 3 θ 2 2 d θ  

Precisamos de uma substituição para resolver essa integral, vamos la:

Usando as relações: s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 e a fórmula do arco duplo do cosseno: cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - s e n 2 ( θ ) . Trocando θ por 3 θ   , passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n 2 3 θ = 1 - cos ⁡ 6 θ 2  

Passo 4

Agora, substituindo a expressão na integral e resolvendo:

∫ 0 π 3 16   s e n 3 θ 2 2 d θ = 16 ∫ 0 π 3 1 - cos ⁡ 6 θ 4   d θ   =   ∫ 0 π 3 16 4 d θ - ∫ 0 π 3 16   cos ⁡ 6 θ 4 d θ

Usando que uma primitiva da função na segunda integral e s e n 6 θ 24 , temos

= 16 π 12 - 0 2 - 16 s e n 6 π 3 24 - 16 s e n 0 24 = 4 π 3

Resposta

Logo, a resposta sera 4 π 3

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Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 4 c o s 3 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r 2 = 8 c o s 2 θ r = 2
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + 5s e n6 θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva: r = 2 + s e n θ r = 3 s e n θ