Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela

r = 3 ( 1 + cos theta )

Passo 1

Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de theta dentro do intervalo 0 <= theta <= 2 pi e obter os valores de r correspondentes. Assim a gente plota os pontos ( r , theta ) , depois liga.

Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?

Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 pi

O r é a própria parametrização

r = 3 ( 1 + cos theta )

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) ( 3 (1 + cos theta)^2 d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) 9 ( 1 + 2 cos theta + cos^2 theta ) d theta

A = (9)/(2) int_0^(2 pi) 1 + 2 cos theta + (1)/(2) ( 1 + cos 2 theta ) d theta

A = (9)/(2) [ theta + 2 sen theta + (1)/(2) ( theta + (1)/(2) sen 2 theta ) ] [[2,pi],[0]]

A = (9)/(2) [ theta + 2 sen theta + (1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta ] [[2,pi],[0]]

A = (9)/(2) [ 2 pi + 2 sen 2 pi + (1)/(2) 2 pi + (1)/(4) sen 2 pi - 0 - 2 sen 0 + (1)/(2) * 0 + (1)/(4) sen 2.0 ] [[2,pi],[0]]

A = (27)/(2) pi

Resposta

A = (27)/(2) pi

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