Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = ln ⁡ θ , θ ≥ 1

Passo 1

Olá, meu brother. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente quer esboçar a curva:

r = ln ⁡ θ , θ ≥ 1

O que a equação representa?

As coordenadas polares, que você pode ver abaixo:

São representadas por r o raio, que é a distância da origem até determinado ponto, e o ângulo θ que é a inclinação entre o raio e a horizontal.

Então o que temos aqui é uma curva onde o seu raio está em função do ln ⁡ θ . Então deveremos ter vários pontos ao longo do eixo.

Como o θ está limitado a valores acima de 1, seu logaritmo vai variar de 0 à , portanto teremos novamente um formato espiralado.

Passo 2

Diferentemente da equação de primeiro grau simples, o logaritmo a partir de 1 tem um comportamento quase como que de uma raiz, portanto é esperado que o espiral continue até o infinito, mas cada vez mais com uma diferença de distância menor ao anterior.

Como o θ está limitado para valores maiores que 1 , o nosso gráfico sairá da origem, pois ln ⁡ 1 = 0 . Vamos construir o gráfico utilizando o GeoGebra, para maior precisão nos nossos resultados.

Mas você pode fazer o seguinte, criar uma tabela com os valores de r , θ e assim criar um esboço do gráfico com diversos pontos:

No gráfico gerado pelo GeoGebra, se limitarmos o θ ∈ [ 1 ,   2 π ] :

Se deixarmos o θ ∈ [ 1 , ∞ ) :

Resposta

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = ln ⁡ t y = t t ≥ 1
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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = s en ⁡ t y = cossec ⁡ t 0tπ
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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = 4 cos ⁡ θ y = 5 sen ⁡ θ - π