Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r^2 theta = 1

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente vamos manipular a equação para isolar o r sem expoente

r^2 theta = 1

Dividindo a equação por theta

r^2 = (1)/(theta)

Alicando a raiz quadrada em ambos os lados

r = sqrt((1)/(theta))

Passo 3

Neste caso, a função nos trará uma indeterminação quando theta for 0 , então vamos ter que calcular o limite neste ponto. Assumindo que theta > 0 vamos calcular apenas o lateral positivo, já que se ele for negativo a função não assumiria valores reais por conta da raiz.

underset(theta^+ -> 0)(lim) r = underset(theta^+ -> 0)(lim) sqrt((1)/(theta)) = + oo

Pensando sobre o comportamento do gráfico, a medida que o theta aumenta o r diminui, se não limitarmos o theta a um valor máximo, o gráfico vai ter um comportamento de um espiral pra dentro que sempre diminui a distância.

Vamos ao gráfico, com theta in ( 0,2 pi ] :

Se deixarmos o theta in ( 0 , oo ) , teremos um gráfico assim, com

underset(theta -> oo)(lim) sqrt((1)/(theta)) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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