Enunciado

a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.

b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = s e n 2 θ ,                     y = cos 2 ⁡ θ

Passo 1

O problema fornece um curva na forma parametrizada e pede para encontrarmos uma equação cartesiana que relacione x e y .

Neste caso, temos

x = s e n 2 θ                 e               y = cos 2 ⁡ θ

Assim, da relação fundamental da trigonometria

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 ⇒ y + x = 1

Portanto,

y = 1 - x

Trata-se de uma reta, mas você deve tomar um cuidado: não é a reta toda! Sabemos que 0 ≤ s e n 2 θ ≤ 1 . Assim,

0 ≤ x ≤ 1

A curva é o pedaço da reta y = 1 - x com x entre 0 e 1 .

Passo 2

Fazendo um esboço da curva...

Conforme θ aumenta, como as funções trigonométricas são periódicas, os pontos vão indo e voltando na reta!

Resposta

y = 1 - x ,               0 ≤ x ≤ 1

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