Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = sen 2 theta

Passo 1

O que a equação representa?

Nas equações polares o r representa a distancia do ponto até a origem e o theta o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido, então vamos na raça.

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de theta :

r (theta) = sen 2 theta

Vamos calcular para 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi

r (0) = sen 0 = 0

r ((pi)/(2)) = sen (2 * (pi)/(2)) = sen pi = 0

r (pi) = sen 2 pi = 0

r ((3 pi)/(2)) = sen (2 * (3 pi)/(2)) = sen 3 pi = 0

r (2 pi) = sen 4 pi = 0

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = sen 2 theta .

Com theta entre 0 e (pi)/(2) o argumento do seno varia de 0 à pi , como temos o multiplicativo 2 no argumento, neste intervalo o valor do seno varia de 0 à 1 e depois retorna a 0 .

Utilizando a mesma idéia, para theta entre (pi)/(2) e pi , o argumento do seno vai de pi até 2 pi , e neste intervalo o valor do seno vai de 0 até - 1 e depois volta ao 0 .

Como é padrão para as funções trigonométricas a partir de 2 pi , os valores voltam aos mesmos de 0 e repetem ao prosseguir, teremos que de pi até (3 pi)/(2) nosso r vai de 0 à 1 e retorna ao 0 e de (3 pi)/(2) até 2 pi a função vai de 0 até - 1 e depois volta ao 0 .

Desta forma ao encostar em qualquer um dos eixos, positivos ou negativos a nossa função retorna ao 0 .

Se considerarmos a “distancia negativa” dos intervalos entre (pi)/(2) e pi e de (3 pi)/(2) até 2 pi , os valores do segundo quadrante preencheriam o quarto e os do quarto preencheriam o segundo ficando algo assim:

Se desconsiderarmos os valores negativos de r só teríamos curvas no primeiro e no terceiro quadrante ficando algo assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação cartesiana da curva B ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traç
A ) Elimine os parâmetros para encontrar uma equação cartesiana da curva B ) Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traç
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = t + 1 ,y = t - 1
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesian
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesian