Enunciado

  1. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
  2. Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.

x = t + 1 ,   y = t - 1

Passo 1

Olá, meu querido e nobre estudante. Vamos resolver mais uma atividade juntos aqui.

A gente tem a curva parametrizada:

x = t + 1

y = t - 1

E vamos fazer duas coisas, vamos primeiro passar essa equação para as coordenadas cartesianas. E também vamos criar o esboço do gráfico.

Para colocarmos em coordenadas cartesianas, precisamos isolar o t em uma das duas equações e substituirmos na outra equação.

Já para o esboço do gráfico, a gente vai criar uma tabela, iremos colocar diversos valores de t e seus respectivos x e y .

Passo 2

Letra a)

Temos que então que:

x = t + 1

y = t - 1

Vamos elevar ao quadrado ambas as equações:

x 2 = t + 1

E

y 2 = t - 1

Agora vamos isolar o t :

x 2 - 1 = t

E

y 2 + 1 = t

Igualando o t :

x 2 - 1 = y 2 + 1

x 2 - y 2 = 2

Dividindo a equação por 2 :

x 2 2 - y 2 2 = 1

Recorde-se do seu conhecimento sobre cônicas que esta é uma hipérbole centrada na origem com um eixo transversal horizontal. Mas, devido às restrições de domínio, apenas a porção do quadrante 1 dela.

Passo 3

Letra b)

Vamos então ao gráfico. Vamos criar uma tabela com diversos valores para t e seus respectivos valores e x e y :

Agora vamos plotar esses pontos no GeoGebra, e assim iremos construir o esboço da nossa curva:

Veja que conforme t aumenta, o ponto se move na direção para cima/direita.

Resposta

  1. x 2 2 - y 2 2 = 1

Resposta

  1. y = x 2 - 2

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