Enunciado

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ   em coordenadas cartesianas.

r = 1 + 5 s e n θ

Passo 1

Então meu querido e amado estudante, pronto para mais uma resolução?

Aqui a gente precisa esboçar a curva dada, porém essa curva é dada em coordenadas polares, então o que a questão quer que a gente faça é tratar ela como se ela fosse em coordenadas cartesianas.

É como se a função fosse na verdade:

y = 1 + 5 sin ⁡ x

Já para encontrarmos os gráficos no plano polar e no plano cartesiano nós iremos criar uma tabela com diversos pontos para θ e seu respectivo valor de r .

Uma ajuda importante é saber que a nossa figura faz parte da família de limaçons, que possuem equação:

r = 1 + c sin ⁡ θ

Para c > 1 , há um laço que diminui de tamanho à medida que c diminui. Quando c = 1 , o laço desaparece e a curva se torna a cardioide.

Para c entre 1 e 1 2 , o cume da cardioide é suavizado e se torna um covinha.

Quando c diminui de ( 1 2 ) para 0 , o limaçon assume a forma de um oval. Este oval torna-se mais circular à medida que c se aproxima de 0 e, quando c = 0 , a curva é apenas o círculo r = 1 .

Passo 2

Então, temos nossa tabela:

Agora iremos colocar esses pontos no plano cartesiano:

Veja que o que temos aqui é a transformação do gráfico da função:

y = sin ⁡ x

Com agora a amplitude de 5 e uma elevação de 1 . Temos também que o período da função é de 2 π .

Passo 3

Com essa mesma tabela, porém agora no plano polar, temos o seguinte gráfico para a função:

Temos então que nossa curva faz parte dos limaçons

r = 1 + c sin ⁡ θ

Onde c = 5 . Para casos em que temos c > 1 acontece a criação do loop interno que vemos na nossa figura.

Resposta

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