Enunciado

Nos exercícios 18 a 23, encontre uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva plana dada em torno do eixo indicado. Faca um esboço da superfície

21.

z = e - x 2

No plano ZX, em torno do eixo x

Passo 1

Oiii a todos que estão ingressando no mundo do cálculo de várias variáveis. Quando aprendemos a fazer gráficos em cálculo 1, aprendemos vários truques. Inclusive, se você já está mais sagaz, de olhar para uma função e concluir “ah isso aqui, tem um jeito de círculo”, por exemplo, rs. Se você ainda não pegou essa sagacidade, relaxe! Isso vem apenas com o tempo e após vários exercícios.

Uma dica que dou é usar muito uma calculadora gráfica. Isso ajuda absurdamente na compreensão da geometria do seu sistema.

Passo 2

No nosso caso temos

z = e - x 2

Que é uma gaussiana no eixo ZX

Essa função vamos precisar fazer um truque antes. Vamos Elevar ao quadrado nos dois lado e obter

z 2 = e - 2 x 2

O que nos dá o seguinte grafico

Agora precisamos fazer uma superfície de revolução, uma dica pratica é fazer o seguinte

V a r i a v e l   e i x o = V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2 + V a r i a v e l   I n d e p e n d e n t e   2

O que no nosso caso temos essa equação em 2D

z 2 = e - 2 x 2

E podemos alterar para ter uma revolução em 3D

e - 2 x 2 =   z 2 + y 2

E se olharmos para o gráfico dessa função percebemos que acertamos

Plotar esse gráfico não é fácil, sugiro que faça uma parametrização na sua calculadora gráfica, caso queria conferir por si mesmo o gráfico da função que descobrimos

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

e - 2 x 2 =   z 2 + y 2

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