Enunciado

Esboce a curva com as equações paramétricas dadas e mostre que ela fica sob um hiperbolóide de uma folha com equação 144 x 2 + 144 y 2 - 25 z 2 = 100

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a curva com as seguintes equações paramétricas:

x = 27 26 sen ⁡ 8 t - 8 39 sen ⁡ 18 t  

y = - 27 26 cos ⁡ 8 t + 8 39 cos ⁡ 18 t

z = 144 65 sen ⁡ 5 t

A curva representada por essas equações paramétricas é representada a seguir para o intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π . Para auxiliar na visualização, o gráfico a direita apresenta a superfície fornecida no enunciado, e é possível verificar que a curva está sob a superfície.

Passo 2

Agora iremos mostrar matematicamente que a curva está sob o hiperbolóide dado. Começaremos calculando o valor da expressão x 2 + y 2 :

x 2 + y 2 = 27 26 sen ⁡ 8 t - 8 39 sen ⁡ 18 t 2 + - 27 26 cos ⁡ 8 t + 8 39 cos ⁡ 18 t 2

= 27 2 26 2 sen 2 ⁡ 8 t - 2 . 27.8 26.39 cos ⁡ 8 t sen ⁡ 18 t + 8 2 39 2 sen 2 ⁡ 18 t + 27 2 26 2 cos 2 ⁡ 8 t - 2 . 27.8 26.39 cos ⁡ 8 t cos ⁡ 18 t + 8 2 39 2 cos 2 ⁡ 18 t

= 27 2 26 2 se n 2 ⁡ 8 t + cos 2 ⁡ 8 t + 64 39 2 se n 2 ⁡ 18 t + cos 2 ⁡ 18 t - 72 169 ( se n ⁡ 8 t sin ⁡ 18 t + cos ⁡ 8 t cos ⁡ 18 t )

Agora, usando as identidades trigonométricas: sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1 e cos ⁡ x - y = cos ⁡ x cos ⁡ y + sen ⁡ x sen ⁡ y , podemos simplificar a expressão para:

= 27 2 26 2 + 64 39 2 - 72 169 cos ⁡ ( 18 t - 8 t )

= 27 2 26 2 + 64 39 2 - 72 169 cos ⁡ 10 t

Passo 3

Agora iremos calcular o valor de z 2 :

z 2 = 144 2 65 2 sen 2 ⁡ 5 t

Lançando mão da identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ α = 1 - cos ⁡ α 2

Podemos reescrever a equação para z 2 como:

z 2 = 144 2 65 2 . 1 2 1 - cos ⁡ 2.5 t = 144 2 2.65 2 - 144 2 2.65 2 cos ⁡ 10 t

Dessa forma, temos que:

144 x 2 + y 2 - 25 z 2 = 144 27 2 26 2 + 64 39 2 - 72 169 cos ⁡ 10 t - 25 144 2 2.65 2 - 144 2 2.65 2 cos ⁡ 10 t

= 144 27 2 26 2 + 64 39 2 - 25.144 2.65 2 - 72 169 cos ⁡ 10 t + 25.144 2.65 2 cos ⁡ 10 t

= 144 27 2 26 2 + 64 39 2 - 72 169 - 72 169 cos ⁡ 10 t + 72 169 cos ⁡ 10 t = 144 25 26 = 100

Logo, a equação da cruva fica de fato sob o hiperbolóide de uma folha dado no enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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