Esboce o gráfico.

y = x^3 / (x^2 - 1)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = x ≠ 1 , - 1 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 x 2 - 1 ' = x 3 ' x 2 - 1 - x 3 x 2 - 1 ' x 2 - 1 2 = 3 x 2 x 2 - 1 - x 3 2 x x 2 - 1 2 = 3 x 4 - 3 x 2 - 2 x 4 x 2 - 1 2 = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

x 4 - 3 x 2 = 0 → x 2 x 2 - 3 = 0 → x = 0   e   x = ± 3

x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Vamos analisar o sinal da expressão:

Temos que f ' x > 0 :

- ∞ , - 3 e 3 , + ∞

E f ' x < 0 :

- 3 , - 1 , - 1,0 , 0,1 e 1 , 3

Temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , - 3 e 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em - 3 , - 1 , - 1,0 , 0,1 e 1 , 3

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 ' = x 4 - 3 x 2 ' x 2 - 1 2 - x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 2 2 = 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 2 - x 4 - 3 x 2 2 x 2 - 1 2 x x 2 - 1 2 2 = 2 x 3 + 6 x x 2 - 1 3

f ' ' x > 0 em - 1 < x < 0 e x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em x < - 1 e 0 < x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 0 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = - ∞

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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