Enunciado

Esboce o gráfico.

y = sqrt(x^2 - 4)

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Antes de começar a esboçar qualquer gráfico é importante a gente saber qual o domínio dele.

Como trata-se de uma raiz quadrada, temos uma restrição quanto ao argumento que só pode ser positivo, ou seja,

x^2 - 4 > 0

x > +- 2

Logo, temos que o dominio é D_y = ]- oo , - 2] uu [2 , + oo[ .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento! Para isso derivar e fazer o estudo do sinal!

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia! Então temos que,

y^' = (sqrt(x^2 - 4))^' = ((x^2 - 4)^((1)/(2)))^' = ((x^2 - 4)^((1)/(2))) ' (x^2 - 4)^'

Lembrando que a derivada do polinômio e da função constante são:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Vamos então aplicar:

y^' = ((x^2 - 4)^((1)/(2)))^' = (1)/(2 sqrt(x^2 - 4)) (2 x)

Ajeitando,

y ' = (x)/(sqrt(x^2 - 4))

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal de y^' igualando a zero:

x = 0

Temos que analisar o denominador também, evitando que ele seja nulo, assim:

sqrt(x^2 - 4) = 0 -> (x + 2) (x - 2) = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Para x - 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 .

Passo 4

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que y^' > 0 em:

]2 , + oo[

Então y é estritamente crescente em ]2 , + oo[

E y^' < 0 em:

]- oo , - 2[

Então y é estritamente decrescente em ]- oo , - 2[

Lembrando que nos outros intervalos a função não é definida.

Passo 5

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de y^(' ') .

Para isso vamos usar mais uma regra, a da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Aplicando:

y^(' ') = ((x)/(sqrt(x^2 - 4)))^' = ((x)^' (sqrt(x^2 - 4)) - (x) (sqrt(x^2 - 4))^')/([sqrt(x^2 - 4)]^2)

Derivando,

y^(' ') = (1 (sqrt(x^2 - 4)) - (x) (x)/(sqrt(x^2 - 4)))/(x^2 - 4)

Ajeitando

y^(' ') = (sqrt(x^2 - 4) - (x^2)/(sqrt(x^2 - 4)))/(x^2 - 4)

y^(' ') = ((x^2 - 4 - x^2)/(sqrt(x^2 - 4)))/(x^2 - 4)

y ' ' = (- 4)/(sqrt(x^2 - 4)) ((1)/(x^2 - 4))

Por fim,

y ' ' = (- 4)/((x^2 - 4) sqrt(x^2 - 4))

Vamos analisar agora o sinal de y^(' ') onde o denominador não pode ser igual a 0 :

y^(' ') < 0 em x < - 2 e x > 2 , tendo a concavidade voltada para baixo.

Não há ponto de inflexão, pois não há uma mudança de concavidade.

Passo 6

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de y para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x^2 - 4) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) sqrt(x^2 - 4) = + oo

Passo 7

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico juntando todas as informações. Ele fica assim:

Resposta

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