Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de f e encontrar f ' e f ' ' . Utilize os gráficos destas derivadas para estimar os intervalos de crescimento, valores extremos e intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

Passo 1

Vamos usar o software geogebra. Na janela de álgebra vamos por a função e plotar o gráfico de f

Dando um zoom,

Vamos analisar o gráfico...

O primeiro mostra que y = 0   é assíntota horizontal . Como x → ∞ ,   f x → 0 ,por valores positivos.

E x → - ∞ ,   f x → 0 através de valores positivos ou negativos.

O segundo gráfico mostra que f intercepta o eixo x em -5 e que a função poderá ter um ponto de mínimo e inflexão a esquerda de -5.

Passo 2

Ainda na janela de álgebra, vamos digitar derivada e explicitar a função f , e então a derivada obtida é

f ' x = - x 6 - 10 x 5 - 6 x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 + 22 x x 8 + 2 x 7 - x 6 - 2 x 5 + 5 x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 4

E o gráfico

Vamos analisar o gráfico...

Pelo gráfico de f ' temos que f ' tem dois zeros . Nós concluímos que f é decrescente em - ∞ ;   - 9,41 e crescente em ( - 9,41 ;   1,29 , decrescente em - 1,29 ; 0 , crescente em 0 ; 1,05 e decrescente em 1,05 ; ∞ . Nós temos um mínimo local em f - 9,41 ≈ - 0,056 e f 0 = 0,5   e máximos locais em f - 1,29 ≈ 7,49 e f 1,48 ≈ 2,35   .  

Passo 3

Da mesma forma no passo anterior, vamos achar f ' ' explicitando a função f ' em vez de f

Temos que

f ' ' x = 2 x 9 + 30 x 8 + 36 x 7 + 42 = x 6 - 18 x 5 - 270 x 4 - 152 x 3 + 42 x 2 + 12 x + 44 x 12 + 3 x 11 - 5 x 9 + 6 x 8 + 15 x 7 - 7 x 6 - 12 x 5 + 18 x 4 + 12 x 3 - 12 x 2 + 8

E o gráfico

Do gráfico de f ' ' ,   temos que f ' ' tem 5 zeros. Nos concluímos que f é côncava para baixo em - ∞ ; 13,81 ) ,   ( - 1,55 ;   - 1,03 )   ,   ( 0,60 ; 1,48 )     e côncava para cima em - 13,81 ;   - 1,55 ,   - 1,03 ; 0,60 ,   ( 1,48 ,   ∞ ) .

Existem 5 pontos de inflexão - 13,81 ;   - 0,05 ,   - 1,55 ; 5,64 ,   - 1,03 ; 5,39 ,   0,60 ; 1,52 ,   1,48 ; 1,93 .  

Resposta

O primeiro mostra que y = 0   é assíntota horizontal . Como x → ∞ ,   f x → 0 ,por valores positivos.

E x → - ∞ ,   f x → 0 através de valores positivos ou negativos.

O segundo gráfico mostra que f intercepta o eixo x em -5 e que a função poderá ter um ponto de mínimo e inflexão a esquerda de -5.

Já pelo gráfico de f ' temos que f ' tem dois zeros . Nós concluímos que f é decrescente em - ∞ ;   - 9,41 e crescente em ( - 9,41 ;   1,29 , decrescente em - 1,29 ; 0 , crescente em 0 ; 1,05 e decrescente em 1,05 ; ∞ . Nós temos um mínimo local em f - 9,41 ≈ - 0,056 e f 0 = 0,5   e máximos locais em f - 1,29 ≈ 7,49 e f 1,48 ≈ 2,35   .  

Do gráfico de f ' ' ,   temos que f ' ' tem 5 zeros. Nos concluímos que f é côncava para baixo em - ∞ ; 13,81 ) ,   ( - 1,55 ;   - 1,03 )   ,   ( 0,60 ; 1,48 )     e côncava para cima em - 13,81 ;   - 1,55 ,   - 1,03 ; 0,60 ,   ( 1,48 ,   ∞ ) .

Existem 5 pontos de inflexão - 13,81 ;   - 0,05 ,   - 1,55 ; 5,64 ,   - 1,03 ; 5,39 ,   0,60 ; 1,52 ,   1,48 ; 1,93 .  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as coordenadas do vértice da parábola y = a x 2 + b x + c a ≠ 0 Quando essa parábola é côncava para cima? E onde ela é côncava para baixo? Justifique sua resposta.
Para x0 , esboce a curva y = f x que tem f 1 = 0 e f ' x = 1 x . O que se pode dizer sobre a concavidade dessa curva? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.93- y = x 2 x + 1
Esboce o gráfico das funções racionais nos Exercícios 85-102.94- y = - x 2 - 4 x + 1
Faça o gráfico das curvas nos Exercícios 27-42.27. y = x 2 - ( x 3 / 6 )