Esboce o gráfico.
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho??
Bom... o enunciado nos pediu para esboçarmos o gráfico de :
Para isso, primeiramente, iremos determinar o domínio dessa função, que é o conjunto de onde a função está definida.
Em seguida, deveremos encontrar os interceptos (onde o gráfico corta o eixo e onde corta o eixo ).
Depois, iremos calcular as assíntotas verticais e horizontais, se houver. Para encontrar as assíntotas verticais, iremos identificar os pontos em que o denominador de uma função racional é zero. E, para as horizontais, analisaremos o comportamento da função para .
Em seguida, iremos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função!
Agora bora lá! 😉
Passo 2
Primeiro vamos determinar o domínio .
Para isso, temos que veronde a função não está definida!
E isso é simples! Veja que se , o nosso denominador será zero:
E isso é um valor indeterminado!!
Assim, o domínio da nossa função são todos os números reais, exceto :
Note também que já identificamos uma assíntota vertical em . 😉
Passo 3
Agora vamos identificar os interceptos:
Fazendo , vemos que o gráfico cruza em:
Assim, vemos que o gráfico intercepta na origem (e assim nem precisamos fazer para porque vai dar na mesa coisa hehe).
Logo, o gráfico intercepta ambos os eixos na origem, ou seja, no ponto .
Passo 4
Agora vamos verificar se teremos assíntotas horizontais!
Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de para e :
Passo 5
Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar :
Vamos então aplicar:
Aplicando a propriedade da divisão:
Resolvendo:
Passo 6
Agora vamos analisar o sinal de :
Vamos analisar o sinal da expressão:
Para temos:
A expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
Para temos:
Aqui a expressão assume valores negativos quando e assume valores positivos quando .
Passo 7
Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:
Temos que em:
e
E temos um ponto de descontinuidade em , assim:
e
Como é contínua temos que:
é estritamente crescente em e
é estritamente decrescente em e
Passo 8
Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de :
Aplciando novamente a propriedade da divisão:
Desenvolvendo a exoressão, obtemos:
Note que em , tendo a concavidade voltada para cima, e em , tendo a concavidade voltada para baixo.
Assim, o ponto de inflexão é em , pois nesse ponto não existe.
Passo 9
Pronto, agora podemos esboçar o gráfico com as informações que encontramos!!