Enunciado

Esboce o gráfico.

y = (x^2)/(x + 1)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = x != - 1 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x^2)/(x + 1))^' = ((x^2)^' (x + 1) - (x^2) (x + 1)^')/([x + 1]^2) = (2 x (x + 1) - (x^2) (1 + 0))/((x + 1)^2) = (2 x^2 + 2 x - x^2)/((x + 1)^2) = (x^2 + 2 x)/((x + 1)^2)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

x^2 + 2 x = 0 -> x (x + 2) = 0 -> x = 0 e x = - 2

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para x + 2 temos:

Aqui a expressão assume valores negativos quando x < - 2 e assume valores positivos quando x > - 2 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f^' (x) > 0 em:

]- oo , - 2] e [0 , + oo[

E f^' (x) < 0 temos um ponto de descontinuidade em - 1 , assim:

[- 2 , - 1[ e ]- 1,0]

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , - 2] e [0 , + oo[

f é estritamente decrescente em [- 2 , - 1[ e ]- 1,0]

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = ((x^2 + 2 x)/((x + 1)^2))^'

f^(' ') (x) = ((x^2 + 2 x)^' ((x + 1)^2) - (x^2 + 2 x) ((x + 1)^2)^')/([(x + 1)^2]^2)

f^(' ') (x) = ((2 x + 2) ((x + 1)^2) - (x^2 + 2 x) 2 (x + 1) (x + 1)^')/((x + 1)^4)

f^(' ') (x) = ((2 x + 2) (x + 1) - (x^2 + 2 x) 2 (1 + 0))/((x + 1)^3) = (2 x^2 + 2 x + 2 x + 2 - 2 x^2 - 4 x)/((x + 1)^3)

f^(' ') (x) = (2)/((x + 1)^3)

f^(' ') (x) > 0 em x > - 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x < - 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em - 1 , pois nesse ponto f não existe.

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x^2)/(x + 1) = + oo

underset(x -> - oo)(lim) (x^2)/(x + 1) = - oo

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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