Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x + 3x^(2/3)

Passo 1

Nós temos a função y = f x = x + 3 x 2 3

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Nesse caso, são todos os reais.
  2. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f 0 = 0 ; intercepto x : f x = 0 , então: x 1 + 3 x - 1 3 = 0 . x = 0 ou 3 x - 1 3 = - 1 → x - 1 3 - 3 = - 1 3 - 3 → x = - 27
  3. f ( - x ) ≠ f ( x ) , então a curva não é simétrica.
  4. Não há assíntotas.
  5. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  6. f x = x + 3 x 2 3

    f ' x = 1 + 2 x 1 3

    f ' x > 0

    1 + 2 x 1 3 > 0

    2 x 1 3 > - 1 → - x 1 3 < 2 → x 1 3 > - 2 → x 1 3 3 > - 2 3

    x > - 8

    f ' x < 0

    1 + 2 x 1 3 < 0

    2 x 1 3 < - 1 → - x 1 3 > 2 → x 1 3 < - 2 → x 1 3 3 < - 2 3

    x < - 8

    Sendo assim, f cresce em - 8 , ∞ , e decresce em - ∞ , - 8 .

  7. Como a função decresce depois cresce, há um valor de máximo local em - 8 .
  8. f - 8 = - 8 + 3 - 8 2 3 = 4

  9. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  10. f ' ' x = - 2 3 x 4 3

    f ' ' x < 0 para qualquer x < 0 , assim, a função tem concavidade para baixo em ( - ∞ , 0 ) , e não possui ponto de inflexão,

    Passo 3

  11. Esboço da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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