Enunciado

Esboce o gráfico de cada função e determine se a função tem quaisquer valores extremos absolutos no domínio. Explique a consistência de sua resposta com o Teorema 1.

Passo 1

Para verificar se há valores extremos absolutos dessa função dada, podemos aplicar o Teorema 2 e, portanto, aplicar a primeira derivada à função y e igualar o resultado a zero. Fazendo isso, temos:

y ' = 3 c o s ⁡ ( x ) = 0

Tal que:

x = π 2                     o u                     x = 3 π 2

Passo 2

Analisando o primeiro ponto x = π / 2 , temos que y ' é positivo para x < π / 2   e é negativo para x > π / 2 e, logo, o ponto x = π / 2 é um máximo local.

Já para o segundo ponto x = 3 π / 2 , temos que y ' é negativo para x < 3 π / 2 e é positivo para x = 3 π / 2 e, logo, o ponto x = 3 π / 2 é um mínimo local.

Passo 3

Fazendo o esboço do gráfico, podemos acrescentar ainda que o ponto x = π / 2 é um máximo absoluto e o ponto x = 3 π / 2 é um mínimo absoluto. Isso se deve ao fato de que o valor da função em x = π / 2 é o maior possível dentro do intervalo dado e o valor da função em x = 3 π / 2 é o menor possível dentro do intervalo dado.

Resposta

As condições do Teorema 1 não são atendidas visto que a função está definida em um intervalo aberto. No entanto, o fato das condições do Teorema 1 não serem satisfeitas faz com que haja a possibilidade de que existam ou não valores extremos absolutos. Neste caso, com a primeira derivada foi possível encontrar valores de máximo e mínimo locais e, com auxílio do gráfico, pudemos complementar que esses valores eram o máximo absoluto e o mínimo absoluto, respectivamente.

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